Hội tụ của các tia sóng (giảm chiều rộng b {\displaystyle b} ) tại Mavericks, California, tạo ra những con sóng lướt cao. Các đường màu đỏ là những tia sóng; đường màu xanh là những mặt sóng. Khoảng cách giữa các tia sóng lân cận thay đổi về hướng bờ biển bởi vì khúc xạ gây ra bởi độ sâu (sự thay đổi độ sâu). Khoảng cách giữa các mặt sóng giảm dần theo hướng bờ biển bởi vì hiệu ứng nước nông (đang giảm độ sâu h {\displaystyle h} ).

Theo định luật, dựa trên những phương trình nước nông tuyến tính, các biến đổi không gian của chiều cao sóng H {\displaystyle H} (gấp đôi biên độ a {\displaystyle a} đối với sóng sin, bằng biên độ đối với sóng đơn) đối với sóng đang di chuyển trong nước với độ sâu trung bình h {\displaystyle h} và chiều rộng b {\displaystyle b} (trong trường hợp kênh lộ thiên) thỏa mãn:[4][5]

H b h 4 = constant , {\displaystyle H\,{\sqrt {b}}\,{\sqrt[{4}]{h}}={\text{constant}},}

trong đó h 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{h}}} là căn bậc 4 của h . {\displaystyle h.} Do đó, khi tính cho hai mặt cắt ngang của một kênh lộ thiên, đặt tên là 1 và 2, thì chiều cao sóng trong mặt cắt 2 là:

H 2 = b 1 b 2 h 1 h 2 4 H 1 , {\displaystyle H_{2}={\sqrt {\frac {b_{1}}{b_{2}}}}\;{\sqrt[{4}]{\frac {h_{1}}{h_{2}}}}\;H_{1},}

với các chỉ số 1 và 2 dùng để chỉ cho các giá trị ở mặt cắt tương ứng. Vì thế, khi độ sâu giảm xuống 16 lần, thì sóng cao lên gấp đôi. Và chiều cao sóng tăng gấp đôi khi bề rộng kênh giảm dần 4 lần. Đối với phương truyền sóng vuông góc với đường bờ biển và các đường bình độ sâu song song với đường bờ biển, thì lấy b {\displaystyle b} là một hằng số, có thể 1 mét hoặc yard.

Đối với những sóng dài khúc xạ trong đại dương hoặc gần bờ, bề rộng b {\displaystyle b} có thể được hiểu là khoảng cách giữa các tia sóng. Các tia sóng (và những thay đổi khoảng cách giữa chúng) thỏa mãn từ quy tắc xấp xỉ trong quang hình học cho đến phương truyền sóng tuyến tính.[6] Trong trường hợp các đường bình độ sâu song song và thẳng thì đơn giản hóa bằng việc sử dụng định luật Snell.[7]

Green công bố những kết quả của ông vào năm 1838,[8] dựa trên một phương pháp – phương pháp Liouville–Green – được phát triển thành những gì mà bây giờ gọi là xấp xỉ WKB. Định luật Green cũng đúng với sự bất biến của dòng năng lượng trung bình của sóng ngang đối với những sóng dài:[4][5]

b g h 1 8 ρ g H 2 = constant , {\displaystyle b\,{\sqrt {gh}}\,{\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\text{constant}},}

trong đó g h {\displaystyle {\sqrt {gh}}} là vận tốc nhóm (bằng vận tốc pha trong sóng nước nông), 1 8 ρ g H 2 = 1 2 ρ g a 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}} là mật độ năng lượng trung bình của sóng được tính theo độ sâu và theo từng đơn vị diện tích ngang, g {\displaystyle g} là gia tốc trọng trường và ρ {\displaystyle \rho } là tỷ trọng nước.

Bước sóng và chu kỳ

Hơn nữa, từ phân tích của Green, bước sóng λ {\displaystyle \lambda } ngắn dần khi vào vùng nước nông, với:[4][8]

λ g h = constant {\displaystyle {\frac {\lambda }{\sqrt {g\,h}}}={\text{constant}}}

dọc theo một tia sóng. Tần số của sóng nước nông không thay đổi, theo lý thuyết tuyến tính Green.